幾何学と空間

とは云うもののそのような標準は公理の内からは少くとも直接には見出せない。処が幾何学はただ一つの公理からは、即ちそれからの直接推理によっては体系を構成することは出来ない。幾何学は公理体系に基く。それ故求められた標準は公理体系、云い換えれば公理と公理との関係に於て見出されるであろう。然るに公理と公理とは互に矛盾しないという条件の下で互に独立であるから、どの公理とどの公理とを選ぶかは又一つの任意とも考えられる。併しもし之が任意ではないということが証明されたとすれば、如何なる公理を如何に選ぶかの標準が一遍に発見されるわけである。私はこの証明を試みよう。まず形式的に三つの異った要素をＡ、Ｂ、Ｃとして適当な条件の下に、

┌（一）二つのＡが一つのＢを、

（１）│（二）三つのＡが一つのＣを、

│（三）二つのＣが一つのＢを、

└（四）三つのＣが一つのＡを、決定するものとする。今ＡをＣによって、ＣをＡによって置き代える時には（１）は（三）（四）（一）（二）の順序となるだけであるから（１）そのものは不変である。処が（四）の代りに

（四′）二つのＣが一つのＡを決定する、を置き代え、（１′）即ち（一）（二）（三）（四′）に前の変換を行うと（１′）は