幾何学と空間

┌（三）二つのＣが一つのＢを、

（１″）│（二′）三つのＣが一つのＡを、

│（一）二つのＡが一つのＢを、

└（四″）二つのＡが一つのＣを、決定することとなり、（１″）の（二′）と（四″）は夫々（１′）の（四′）と（二）とに矛盾せねばならぬ。のみならず、仮設によってＢとＣとは異る筈であるのに、（一）と（四″）とからしてＢ≡Ｃでなければならなくなって、茲にも矛盾が生じて来る。即ちこの変換は（１′）を不変のまま残さぬと共に又変換の結果をも矛盾に陥れて了う。以上のことは次のことを云い表わしている、「要素ＡＢＣを含む公理体系がＡとＣとの交換によって不変であるためには」少くとも（１′）のような公理体系を選んではならない、且つ少くとも（１）を選べば充分である、と。云い換えれば括弧内の条件はＡＢＣの公理体系を選ぶ標準に外ならない。今Ａを点、Ｂを直線、Ｃを平面とすれば、括弧内の条件は点と平面との双関性（Dualit※(ダイエレシス付きA小文字)t）となる。それ故双関性は幾何学の公理体系を選ぶ時に必要な標準――少くともその一例――であることが明らかになる。