幾何学と空間

然るに複素数の概念を如何に拡張するにしても実数と虚数との間には等方性の関係は成り立たない。二点間の距離式は横にするも縦にするも変りはないが式と式とは等しくない。のみならずｎは任意の自然数であるが、数系列の体系が任意の次元に拡張され得るか否かに就いては多くの疑問が残されていると思う。それ故リーマンの「ｎ次の多様」と数系列の体系とは同一ではない。即ち解析幾何学の対象は数体系によっては尽すことの出来ない特異なものを含んでいることは否定出来ないこととなる。このことは幾何学の計量に於て発見される処の絶対的な単位の存在によって徹底的に証明されるであろう。ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学とに於て三角形の内角の和は云うまでもなく同一ではない。併し同一でないためには角の計量の単位が共通でなければならない。かかる共通の単位はπであることを何人も知っている。然るにπを直径と円周との比――円周率――と定義するのであってはそのような計量関係は何れの幾何学に於ても同一であるとは云えない。事実ユークリッド幾何学の円周率と非ユークリッド幾何学の夫とは異っている。凡そπを角以外の計量関係の上に基ける以上それは決して共通とは云えなくなる。